A Symmetry Preserving Algorithm for Matrix Scaling

We present an iterative algorithm which asymptotically scales the ∞-norm of each row and each column of a matrix to one. This scaling algorithm preserves symmetry of the original matrix and shows fast linear convergence with an asymptotic rate of 1/2. We discuss extensions of the algorithm to the one-norm, and by inference to other norms. For the 1-norm case, we show again that convergence is linear, with the rate dependent on the spectrum of the scaled matrix. We demonstrate experimentally that the scaling algorithm improves the conditioning of the matrix and that it helps direct solvers by reducing the need for pivoting. In particular, for symmetric matrices the theoretical and experimental results highlight the potential of the proposed algorithm over existing alternatives. Key-words: Sparse matrices, matrix scaling, equilibration in ria -0 05 69 25 0, v er si on 2 13 N ov 2 01 2 Un algorithme pour mettre des matrices à l’échelle tout en préservant la symétrie Résumé : Nous décrivons un algorithme itératif qui, asymptotiquement, met une matrice à l’échelle de telle sorte que chaque ligne et chaque colonne est de taille 1 dans la norme infini. Cet algorithme préserve la symétrie. De plus, il converge assez rapidement avec un taux asymptotique de 1/2. Nous discutons la généralisation de l’algorithme à la norme 1 et, par inférence, à d’autres normes. Pour le cas de la norme 1, nous établissons que l’algorithme converge avec un taux linéaire. Nous démontrons expérimentalement que notre algorithme améliore le conditionnement de la matrice et qu’il aide les méthodes directes de résolution en réduisant le pivotage. Particulièrement pour des matrices symétriques, nos résultats théoriques et que expérimentaux mettent en valeur l’intérêt de notre algorithme par rapport aux algorithmes existants. Mots-clés : Matrices creuses, mise à l’échelle, factorisation des matrices creuses. in ria -0 05 69 25 0, v er si on 2 13 N ov 2 01 2 Symmetric Matrix Scaling 3